ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Смирнов А.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 [Всего задач: 3]      



Задача 109803

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Гомотетичные многоугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109805

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Ориентированные графы ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В стране 1001 город, каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог,
в каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из каждого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109814

Темы:   [ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Смирнов А.

Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .