Страница: 1 [Всего задач: 5]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
{
a1,
a2, ...,
a20} — набор целых положительных чисел.
Строим новый набор чисел {
b0,
b1,
b2, ...} по следующему правилу:
b0 — количество чисел исходного набора, которые больше 0,
b1 — количество чисел исходного набора, которые больше 1,
b2 — количество чисел исходного набора, которые больше 2,
и т.д., пока не пойдут нули. Докажите, что сумма всех чисел исходного набора равна сумме всех чисел нового набора.
В треугольнике ABC точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Известно, что ∠AC'B' = ∠B'A'C, ∠CB'A' = ∠A'C'B,
∠BA'C' = ∠C'B'A. Докажите, что точки A', B', C' – середины сторон треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Куб со стороной 10 разбит на 1000 кубиков с ребром 1. В каждом кубике записано число, при этом сумма чисел в каждом столбике из 10 кубиков (в любом из трёх направлений) равна 0. В одном из кубиков (обозначим его через A) записана единица. Через кубик A проходит три слоя, параллельных граням куба (толщина каждого слоя равна 1). Найдите сумму всех чисел в кубиках, не лежащих в этих слоях.
Задача
98412
(#5)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
n бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их
границы проходят через одну точку, причём эта точка находится внутри
области, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами. Найдите его периметр.
Задача
98415
(#6)
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает
оценку – число Q – показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений Q всех жителей этой страны.
а) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.
б) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?
в) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б – в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После этого направление миграционных потоков изменилось на
противоположное – часть жителей В переехала в Б, а часть жителей Б – в А.
Оказалось, что в результате рейтинги всех трёх стран опять выросли (по сравнению
с теми, которые были после первого переезда, но до начала второго). (Так, во
всяком случае, утверждают информационные агентства этих стран.) Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то почему)?
(Предполагается, что за рассматриваемое время Q граждан не изменилось, никто не умер и не родился.)
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Фильтр
