Страница:
<< 26 27 28 29
30 31 32 >> [Всего задач: 417]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Дано натуральное n > 1. Число a > n² таково, что среди чисел a + 1, a + 2, ..., a + n есть кратные каждого из чисел n² + 1, n² + 2, ..., n² + n.
Докажите, что a > n4 – n³.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, большие 1010, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Из двухсот чисел: 1, 2, 3, ..., 199, 200 выбрали одно число, меньшее 16, и ещё 99 чисел.
Докажите, что среди выбранных чисел найдeтся два таких, одно из которых делится на другое.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Пусть n и b – натуральные числа. Через V(n, b) обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12, так что V(36, 2) = 5). Докажите, что V(n, b) < n/b.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
a и b – такие различные натуральные числа, что
ab(a + b) делится на a² + ab + b². Докажите, что |a – b| > 
.
Страница:
<< 26 27 28 29
30 31 32 >> [Всего задач: 417]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Теория чисел. Делимость
>>
Делимость чисел. Общие свойства
