Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 108]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
В окружности $\Omega $ хорды $A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$ пересекаются в точке $O$.
Пусть $B_i$ – вторая точка пересечения окружности $\Omega$ с окружностью, построенной на отрезке $OA_i$ как на диаметре.
Докажите, что хорды $B_1B_2$, $B_3B_4$, $B_5B_6$ пересекаются в одной точке.
|
|
Сложность: 5- Классы: 10,11
|
Окружность
S и точка
O лежат в одной плоскости, причём
O находится вне
окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность
S, и
опишем конус с вершиной в точке
O и касающийся шара. Найти геометрическое
место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.
Докажите, что окружность, проходящая через середины
трёх сторон треугольника, касается его вписанной и
трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).
Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке
AB взята точка
C и на отрезках
AB ,
BC ,
CA как на диаметрах построены
соответственно полуокружности
α ,
β ,
γ по одну сторону от
AC . В криволинейный треугольник, образованный этими
полуокружностями, вписана окружность
δ1
, в криволинейный
треугольник, образованный полуокружностями
α ,
β и
окружностью
δ1
, вписана окружность
δ2
и т.д.
(окружность
δn вписана в криволинейный треугольник,
образованный полуокружностями
α ,
β и окружностью
δn-1
,
n=2
,3
, .. ). Пусть
rn — радиус окружности
δn ,
dn — расстояние от центра окружности
δn
до прямой
AB . Докажите, что
= 2
n .
|
|
Сложность: 5+ Классы: 9,10,11
|
Дана окружность и точка
P внутри нее,
отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся
данной изнутри и друг друга в точке
P . Найдите геометрическое
место точек пересечения общих внешних касательных к этим
окружностям.
Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 108]