ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 91]      



Задача 102737

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Окружность Ферма-Аполлония ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по его биссектрисе и отрезкам, на которые она делит сторону треугольника.

Пусть нужный треугольник ABC построен, CD = lc — данная биссектриса, BD = a' и AD = b' — данные отрезки, на которые она делит сторону AB. Обозначим BC = a, AC = b.

Первый способ.

По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (рис.1)

lc2 = AD2 = BC . AC - BD . AD = ab - a'b'.

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$.

Отсюда вытекает следующее построение. По данным отрезкам a' и b' строим отрезок x = $ \sqrt{a'b'}$ — среднее геометрическое отрезков a' и b'. Зная отрезок x и данный отрезок lc, строим отрезки

y = $\displaystyle \sqrt{ab}$ = $\displaystyle \sqrt{l_{c}^{2}+ a'b'}$ = $\displaystyle \sqrt{l_{c}^{2}+ x^{2}}$ и , z = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ . y.

Поскольку

a2 = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ . ab = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ . y2,

то можно построить отрезок

a = $\displaystyle \sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y\cdot y}$ = $\displaystyle \sqrt{z\cdot y}$.

По известным отрезкам a, a' и lc строим треугольник BCD. Далее очевидно.

Второй способ.

Известно, что геометрическое место точек, отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек A и B постоянно и отлтчно от 1, есть окружность (окружность Аполлония).

Пусть a' > b'. Тогда биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает продолжение стороны BA за точку A (рис.2). Обозначим точку пересечения через E. Тогда по свойству биссектрисы внешнего угла треугольника

$\displaystyle {\frac{BE}{AE}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle {\frac{AE}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b'}{a'-b'}}$.

Значит, можно построить отрезок

AE = AB . $\displaystyle {\frac{b'}{a'-b'}}$ = $\displaystyle {\frac{(a'+b')\cdot b'}{a'-b'}}$.

(Отрезок DE виден из искомой точки C под прямым углом.) Далее на отрезке AB строим как на диаметре окружность — окружность Аполлония для точек A и B и отношения $ {\frac{a'}{b'}}$. Тогда искомая вершина C — это точка пересечения построенной окружности с окружностью с центром D и радиусом lc.

Прислать комментарий     Решение


Задача 54645

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC, если заданы его наименьший угол при вершине A и отрезки d = AB - BC и e = AC - BC.

Прислать комментарий     Решение


Задача 55639

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC по стороне AB = c, высоте CC1 = h и разности углов $ \varphi$ = $ \angle$A - $ \angle$B.

Прислать комментарий     Решение


Задача 55772

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённым из одной вершины.

Прислать комментарий     Решение


Задача 76448

Тема:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Построить треугольник по основанию, высоте и разности углов при основании.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 91]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .