Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 47]      

Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что   a⁴ + b⁴ + c⁴ ≤ 2(a²b² + b²c² + c²a²).
  а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
  б) Докажите, что   a² + b² + c² ≤ 2(ab + bc + ca).
  в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

Прислать комментарий

Решение

Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:

  а)  d(0) + d(1)x + d(2)x² + ...  =  (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;

  б)  l(0) + l(1)x + l(2)x² + ...  =  (1 – x)^–1(1 – x³)^–1(1 – x⁵)^–1...;

   в)  d(n) = l(n)   (n = 0, 1, 2, ...).

(Считается по определению, что  d(0) = l(0) = 1.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 47]