ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57533
Темы:    [ Теорема косинусов ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём  a ≥ b ≥ cx, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

bc + ca – ab < bc cos x + ca cos y + ab cos z ≤ ½ (a² + b² + c²).


Решение

  Пусть  f = bc cos x + ca cos y + ab cos z.  Так как  cos x = – cos y cos z + sin y sin z,  то  f = c(a – b cos z) cos y + bc sin y sin z + ab cos z.
  Рассмотрим треугольник, длины двух сторон которого равны a и b, а угол между ними равен z; пусть φ и ψ – углы, лежащие против сторон a и b,
t
– длина стороны, лежащей против угла z. Легко видеть, что  a – b cos z = t cos ψ,  а  b sin z = t sin ψ.  Следовательно,
f = ct cos ψ cos y + ct sin y sin ψ + ab cos z = ct cos(ψ – y) + ½ (a² + b² – t²).
  Так как  cos(ψ – y) ≤ 1,  то  f ≤ ½ (a² + b² + c²).  Так как  a ≥ b,  то  φ ≥ ψ,  а значит,  – φ ≤ – ψ < y – ψ < π – z – ψ = φ,  то есть
cos(y – ψ) > cos φ.  Поэтому

 
  Коэффициент при t² отрицателен или равен нулю; кроме того,  0 < t < a + b.  Следовательно,
 

Замечания

Оценка сверху, как нетрудно проверить, достигается, когда x, y, z – углы исходного треугольника, лежащие против сторон a, b, c соответственно. Оценка снизу "достигается"; при  x = y = 0,  z = π.
Читатель, знакомый с исследованием функций двух переменных, может получить тот же результат, продифференцировав f по x и по y.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 1
Название Треугольник
Тема Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер 11.013

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .