ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65809
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Центр поворотной гомотетии ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB1C1 в точках B1 и C1 пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB1C1 лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.


Решение

  Пусть A0, B0, C0 – середины BC, CA, AB,  O, H – центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC. Заметим, что точки B1, C1 лежат на окружности Ω с диаметром AH, а точки B0, C0 – на окружности ω с диаметром AO. Проекция Z точки A на прямую OH лежит на обеих этих окружностях, то есть Z является центром поворотной гомотетии, переводящей C0 в B0, а C1 в B1  (∠C0ZB0 = ∠A = ∠C1ZB1,  а отношения  ZB0 : ZB1  и  ZC0 : ZC1  равны отношению радиусов ω и Ω). Осталось доказать, что эта поворотная гомотетия переводит M в N, отсюда будет следовать, что описанная окружность треугольника AMN проходит через Z.
  Заметим, что точка A0 и центр окружности Ω диаметрально противоположными на окружности девяти точек треугольника ABC. Поэтому прямые A0B1 и A0C1 касаются Ω, то есть совпадают с прямыми B1M и C1N (см. рис.). Спроецировав прямую AC на AB из точки A0, получаем равенство двойных отношений  (B0, B1, N, ∞) = (∞, M, C1, C0),  или  NB0 : NB1 = MC0 : MC1,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2016
тур
задача
Номер 16

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .