ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66146
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Точка Лемуана ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Пусть ω – его описанная окружность, точка M – середина стороны BC, P – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB1C1 и ω, T – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках B и C, S – точка пересечения AT и ω. Докажите, что P, A1, S и середина отрезка MT лежат на одной прямой.


Решение

  Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, H' – точка, симметричная H относительно BC, X – точка, симметричная H относительно M, A' – середина дуги BC, не содержащей точку A, K – точка пересечения прямой AM и ω (см. рис.). Согласно задачам 55463 и 108949 точки H' и X лежат на ω. Кроме того, точка X диаметрально противоположна точке A (см. решение задачи 108600).
  Согласно задаче 56983 ASсимедиана треугольника ABC. Поэтому дуги A'H' и A'X равны, значит, точки H' и X (как и точки S и K) симметричны относительно прямой MT.

  Лемма 1. Точки P, H, M и X лежат на одной прямой.
  Доказательство. Заметим, что AH – диаметр описанной окружности треугольника AB1C1, то есть  ∠APH = 90°.  Точка X диаметрально противоположна точке A, поэтому и  ∠APX = 90°,  откуда и следует утверждение леммы.

  Лемма 2. Точки P, H' и T лежат на одной прямой.
  Доказательство. Согласно задаче 56983 PT – симедиана треугольника BPC, а PM – его медиана. Поэтому достаточно доказать, что PH' и PM симметричны относительно биссектрисы угла BPC. Это следует из равенства дуг BH' и CX, которое фактически доказано выше.

  Как уже доказано, точки H и H' расположены на сторонах PM и PT треугольника PMT. Так как A1 – середина HH', а  HH' || TM,  то прямая PA1 делит TM пополам.
  Поскольку точки P и A1 лежат на окружности с диаметром AM, то  ∠H'MS = ∠XMK = ∠PMA = ∠PA1A.  Кроме того,
MSH' = ∠MKX = ∠AKX = 90°.  Следовательно, четырёхугольник A1H'SM – вписанный, откуда  ∠PA1A = ∠H'MS = ∠H'A1S.  Значит, точки P, A1 и S лежат на одной прямой.

Замечания

Другие свойства точки P и более общей конструкции можно найти в статьях Ю. Блинкова "Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и... еще одна точка!" и В. Дубровского "Two applications of a lemma on intersecting circles".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2017-04-16
класс
Класс 10-11
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .