Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Берлов С.Л.

Сергей Львович Берлов - преподаватель физико-математического лицея 239 города Санкт-Петербурга, кандидат физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике, серебряный призер Международной математической олимпиады 1988 г.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки A1 и C1 соответственно. Отрезки AC1 и CA1 пересекаются в точке P . Описанные окружности треугольников  AA1P и CC1P вторично пересекаются в точке Q , лежащей внутри треугольника  ACD . Докажите, что PDA= QBA .

Вниз   Решение


Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем BM = 3AM и CN = 3AN. Докажите, что MN || BC и найдите MN, если BC = 12.

ВверхВниз   Решение


Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:
  а) меньше 4/5;
  б) меньше 4/7?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

На плоскости дан квадрат и точка Р. Могут ли расстояния от точки Р до вершин квадрата оказаться равными 1, 1, 2 и 3?

ВверхВниз   Решение


Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 секунд и затратил 25 секунд, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Докажите, что АВ > AD.

ВверхВниз   Решение


Вдоль дорожки между домиками Незнайки и Синеглазки росли в ряд цветы: 15 пионов и 15 тюльпанов вперемешку. Отправившись из дома в гости к Незнайке, Синеглазка поливала все цветы подряд. После 10-го тюльпана вода закончилась, и 10 цветов остались не политыми. Назавтра, отправившись из дома в гости к Синеглазке, Незнайка собирал для неё все цветы подряд. Сорвав 6-й тюльпан, он решил, что для букета достаточно. Сколько цветов осталось расти вдоль дорожки?

ВверхВниз   Решение


В вершинах шестиугольника ABCDEF (см. рис.) лежали 6 одинаковых на вид шариков: в A — массой 1 г, в B — 2 г, ..., в F — 6 г. Шутник поменял местами два шарика в противоположных вершинах. Имеются двухчашечные весы, позволяющие узнать, в какой из чаш масса шариков больше. Как за одно взвешивание определить, какие именно шарики переставлены?

ВверхВниз   Решение


  Пусть 2S – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число k средним, если в наборе можно выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то сумма трёх его медиан не меньше, чем учетверённый радиус описанной окружности.

ВверхВниз   Решение


Разрежьте изображённый на рисунке пятиугольник на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.

Вверх   Решение

Все задачи автора

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 118]      



Задача 109773

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Из промежутка  (22n, 23n)  выбрано  22n–1 + 1  нечётное число.
Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, квадрат каждого из которых не делится на другое.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109832

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Неравенства. Метод интервалов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Сумма чисел a1, a2, a3, каждое из которых больше единицы, равна S, причём     для любого  i = 1, 2, 3.
Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 109850

Темы:   [ Шахматная раскраска ]
[ Ломаные ]
[ Ломаные внутри квадрата ]
[ Четность и нечетность ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Таблицы и турниры (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109857

Темы:   [ Итерации ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Уравнение  f(f(x)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  b ≤ – ¼.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110008

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ]
[ Системы точек ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.
Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 118]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .