Страница:
<< 1 2 [Всего задач: 10]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно k прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно l прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Внутри круга расположены точки A1, A2, ..., An, а на его границе – точки B1, B2, ..., Bn так, что отрезки A1B1, A2B2, ..., AnBn не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки Ai в точку Aj, если отрезок AiAj не пересекается ни с одним из отрезков AkBk, k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки Ap в любую точку Aq.
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10
|
На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых
клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.
|
|
Сложность: 6 Классы: 9,10,11
|
Докажите, что существует такое натуральное число
n , что если правильный треугольник со стороной
n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на
n2 правильных треугольников со стороной 1,
то среди вершин этих треугольников можно выбрать
1993
n точек, никакие три из которых не являются
вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного
треугольника).
|
|
Сложность: 6+ Классы: 9,10,11
|
На бесконечной в обе стороны полосе из клеток,
пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по
нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:
-
Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить
один камень в клетку n+1 ;
-
Снять два камня с клетки n и положить по одному
камню в клетки n+1 , n-2 .
Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации,
когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация
не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной
раскладки камней по клеткам).
Страница:
<< 1 2 [Всего задач: 10]