ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Фон-дер-Флаас Д.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      



Задача 64358

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Инварианты ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно k прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно l прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109579

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Обход графов ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Внутри круга расположены точки A1, A2, ..., An, а на его границе – точки B1, B2, ..., Bn так, что отрезки A1B1, A2B2, ..., AnBn не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки Ai в точку Aj, если отрезок AiAj не пересекается ни с одним из отрезков AkBk,  k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки Ap в любую точку Aq.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109829

Темы:   [ Раскраски ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Степень вершины ]
[ Перестройки ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109510

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Докажите, что существует такое натуральное число n , что если правильный треугольник со стороной n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n2 правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).
Прислать комментарий     Решение


Задача 109652

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Инварианты ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:

  1. Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
  2. Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .
Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .