Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 187]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
На плоскости даны три параллельные прямые.
Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
На кольцевом треке 2n велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее n² встреч.
В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу
острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до
клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может
фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик
утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это
быть правдой?
Дан треугольник ABC. Пусть I – центр его вписанной окружности, и пусть X, Y, Z – центры вписанных окружностей треугольников AIB, BIC и AIC соответственно. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника XYZ совпадает с I. Обязательно ли тогда треугольник ABC равносторонний?
Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.
Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 187]
Все авторы
>>
Френкин Б.Р. 
