Версия для печати
Убрать все задачи

---

Натуральное число n таково, что числа  2n + 1  и  3n + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5n + 3  быть простым?

   Решение

---

Целые числа x, y и z таковы, что  (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z.  Докажите, что число  x + y + z  делится на 27.

   Решение

---

Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира:  2021:43 = 47.  Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?

   Решение

---

Точка $D$ лежит на основании $AB$ равнобедренного тупоугольного треугольника $ABC$ так, что отрезок $AD$ равен радиусу описанной окружности треугольника $BCD$. Найдите угол $ACD$.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 196]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67038

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира:  2021:43 = 47.  Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67230

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Точка $D$ лежит на основании $AB$ равнобедренного тупоугольного треугольника $ABC$ так, что отрезок $AD$ равен радиусу описанной окружности треугольника $BCD$. Найдите угол $ACD$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86102

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103913

Темы:   [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, центр O которой лежит внутри него.
Доказать, что, если  ∠BAO = ∠DAC,  то диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108115

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Дана окружность с диаметром AB. Другая окружность с центром в точке A пересекает отрезок AB в точке C, причём  AC < ½ AB.  Общая касательная двух окружностей касается первой окружности в точке D. Докажите, что прямая CD перпендикулярна AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 196]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями