Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 215]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 105104

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O описанной окружности треугольника BCM лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105132

Темы:   [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Неравенства с углами ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105157

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Четность и нечетность ] [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108151

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Описанная окружность треугольника AOB касается прямой BC.
Докажите, что описанная окружность треугольника BOC касается прямой CD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109494

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Ребусы ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Номер нынешней олимпиады (70) образован последними цифрами года её проведения, записанными в обратном порядке.
Сколько еще раз повторится такая ситуация в этом тысячелетии?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 215]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями