Версия для печати
Убрать все задачи
Дан треугольник ABC. Две прямые, симметричные прямой AC относительно прямых AB и BC соответственно, пересекаются в точке K.
Докажите, что прямая BK проходит через центр O описанной около треугольника ABC окружности.
Решение
По кругу записывают 2015 натуральных чисел так, чтобы каждые два соседних числа различались на их наибольший общий делитель.
Найдите наибольшее натуральное N, на которое гарантированно будет делиться произведение этих 2015 чисел.
Решение
Корабль в тумане пытается пристать к берегу. Экипаж не знает, в какой стороне находится берег, но видит маяк, находящийся на маленьком острове в 10 км от берега, и понимает, что расстояние от корабля до маяка не превышает 10 км (точное расстояние до маяка неизвестно). Маяк окружен рифами, поэтому приближаться к нему нельзя. Может ли корабль достичь берега, проплыв не больше 75 км? (Береговая линия – прямая, траектория до начала движения вычерчивается на дисплее компьютера, после чего автопилот ведет корабль по ней.)
Решение
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины M и N отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?
Решение
Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?
Решение
Дан выпуклый многогранник и точка K, не принадлежащая ему. Для каждой точки M многогранника строится шар с диаметром MK. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.
Решение
Решение
Все авторы
>>
Анджанс А. 
