Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны d_a, d_b и d_c. Докажите, что  d_a + d_b + d_c = R + r.

   Решение

Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка с концами в точках P(-1;2;5) и Q(3;-4;1) перпендикулярно прямой, проходящей через точки A(0;-2;-1) и B(3;2;-1) .

   Решение

Точки M и N таковы, что  AM : BM : CM = AN : BN : CN. Докажите, что прямая MN проходит через центр O описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Окружность с центром I касается сторон AB, BC, CA треугольника ABC в точках C₁, A₁, B₁. Прямые AI, CI, B₁I пересекают A₁C₁ в точках X, Y, Z соответственно. Докажите, что  ∠YB₁Z = ∠XB₁Z.

   Решение

Найдите острый угол между плоскостями 2x - y - 3z + 5 = 0 и x + y - 2 = 0 .

   Решение

Робот придумал шифр для записи слов: заменил некоторые буквы алфавита однозначными или двузначными числами, используя только цифры 1, 2 и 3 (разные буквы он заменял разными числами). Сначала он записал шифром сам себя:  РОБОТ = 3112131233.  Зашифровав слова КРОКОДИЛ и БЕГЕМОТ, он с удивлением заметил, что числа вышли совершенно одинаковыми! Потом Робот записал слово МАТЕМАТИКА. Напишите число, которое у него получилось.

   Решение

Замените в слове МАТЕМАТИКА буквы цифрами и знаками сложения и вычитания так, чтобы получилось числовое выражение, равное 2014.
(Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры или знаки, разными – разные. Достаточно привести пример.)

   Решение

На клетчатой бумаге был нарисован лабиринт: квадрат 5×5 (внешняя стена) с выходом шириной в одну клетку, а также внутренние стенки, идущие по линиям сетки. На рисунке мы скрыли от вас все внутренние стенки. Начертите, как они могли располагаться, зная, что числа, стоящие в клетках, показывают наименьшее количество шагов, за которое можно было покинуть лабиринт, стартовав из этой клетки (шаг делается в соседнюю по стороне клетку, если они не разделены стенкой). Достаточно одного примера, пояснения не нужны.

   Решение

Разрежьте фигуру на рисунке на три равные части (не обязательно по линиям сетки). (Равными называются части, которые можно совместить, наложив друг на друга. При этом части можно поворачивать и переворачивать.)

   Решение

Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]      

Натуральные числа от 1 до 2014 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1007 сумм перемножили.
Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замёрзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши.

Прислать комментарий

Решение

Разрежьте фигуру на рисунке на три равные части (не обязательно по линиям сетки). (Равными называются части, которые можно совместить, наложив друг на друга. При этом части можно поворачивать и переворачивать.)

Прислать комментарий

Решение

Робот придумал шифр для записи слов: заменил некоторые буквы алфавита однозначными или двузначными числами, используя только цифры 1, 2 и 3 (разные буквы он заменял разными числами). Сначала он записал шифром сам себя:  РОБОТ = 3112131233.  Зашифровав слова КРОКОДИЛ и БЕГЕМОТ, он с удивлением заметил, что числа вышли совершенно одинаковыми! Потом Робот записал слово МАТЕМАТИКА. Напишите число, которое у него получилось.

Прислать комментарий

Решение

Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]