ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Косухин О.Н.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



Задача 66097

Темы:   [ Перпендикулярные прямые ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что  BD = CD,  ∠BDC = 120°.  Вне треугольника ABC взята такая точка E, что  AE = CE,  ∠AEC = 60°  и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что  ∠AFD = 90°,  где F – середина отрезка BE.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66606

Темы:   [ Раскраски ]
[ Системы точек ]
[ Геометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Каждая точка плоскости раскрашена в один из трех цветов. Обязательно ли найдется треугольник площади 1, все вершины которого имеют одинаковый цвет?
Прислать комментарий     Решение


Задача 115512

Темы:   [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы
     y = xn + px + q,  z = yn + py + q,  x = zn + pz + q,
то выполнено неравенство  x²y + y²z + z²x ≥ x²z + y²x + z²y.
Рассмотрите случаи   а)  n = 2;   б)  n = 2010.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116251

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Экстремальные свойства (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116704

Темы:   [ Двоичная система счисления ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 11

Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2n слов, состоящих из n букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение n множителей, исправив каждую букву А на x, а каждую букву Б – на  (1 – x),  и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от x. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке  [0, 1]  функцию от x.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .