Все авторы
>>
Акопян А.В. 
Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
На плоскости расположено [ n] прямоугольников со
сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник
пересекается хотя бы с n прямоугольниками. Доказать, что найдется
прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.
В блицтурнире принимали участие 2n + 3 шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.
Известно, что многочлен (x + 1)n – 1 делится на некоторый многочлен P(x) = xk + ck–1xk–1 + ck–2xk–2 + ... + c1x + c0 чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на k + 1.
Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?
Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .
Все задачи автора Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]
Задача 116185 |
|
|
Дан параллелограм ABCD. Прямая, параллельная AB, пересекает
биссектрисы углов A и C в точках P и Q соответственно.
Докажите, что углы ADP и ABQ равны.
|
|
Решение |
Задача 116084 |
|
|
Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше?
|
|
|
Решение |
Задача 64735 |
|
|
Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)
|
|
|
Решение |
Задача 66914 |
|
|
Четырехугольник $ABCD$ – вписанный. Окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ – в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельна $CD$.
|
|
|
Решение |
Задача 66918 |
|
|
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]
