ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Акопян А.В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]      



Задача 109795

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть IA и IB – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников IACP и IBCP, совпадает с центром окружности Ω.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111871

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что  AQOP.  Прямая OP пересекает описанные окружности ω1 и ω2 треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что  OM = ON.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116898

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  ∠B = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠PQB = 2∠PCQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105173

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Теорема Хелли ]
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9


а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 52460

 [Теорема о бабочке]
Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Радикальная ось ]
[ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P. Отрезок LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что  PC = QC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .