ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Акопян А.В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



Задача 66025

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три окружности пересекаются в одной точке ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр O треугольника ABC. Окружности Гb и Гc построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах.
Докажите, что окружности Гb и Гc пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110792

Темы:   [ Признаки подобия ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Преобразования подобия (прочее) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Треугольники ABC и A1B1C1 подобны и по-разному ориентированы. На отрезке AA1 взята такая точка A', что  AA' : A1A' = BC : B1C1.  Аналогично строим B' и C'. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115859

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Формула Эйлера ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC равны R и r; O, I – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла C пересекает прямую AB в точке P. Точка Q – проекция точки P на прямую OI. Найдите расстояние OQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64744

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Малые шевеления ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Два выпуклых многоугольника A1A2...An и B1B2...Bn  (n ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64886

Темы:   [ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Касающиеся сферы и инверсия ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 11

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть  AB·CD = AC·BD = AD·BC).  Пусть A1 – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A1, B, C и D тригармоническая. Точки B1, C1 и D1 определяются аналогично. Докажите, что
  a) A, B, C1, D1 лежат на одной окружности;
  б) точки A1, B1, C1, D1 образуют тригармоническую четвёрку.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .