Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]

Задача 66264

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Прямая Симсона	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Нилов Ф.

Центр окружности ω₂ лежит на окружности ω₁. Из точки X окружности ω₁ проведены касательные XP и XQ к окружности ω₂ (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω₁ в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116915

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
Темы:	[	Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Нилов Ф.

В окружность Ω вписан четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны. На сторонах AB и CD во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67612

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Нилов Ф.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ равны, $K$ – точка пересечения диагоналей. Описанная окружность треугольника $ABD$ повторно пересекает сторону $BC$ в точке $Y$, а описанная окружность треугольника $BCD$ повторно пересекает сторону $AB$ в точке $X$. Докажите, что $\angle AKX = \angle CKY$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66684

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Нилов Ф.

Дан вписанный $n$-угольник. Оказалось что середины всех его сторон лежат на одной окружности. Стороны $n$-угольника отсекают от этой окружности $n$ дуг, лежащих вне $n$-угольника. Докажите, что эти дуги можно покрасить в красный и синий цвет так, чтобы сумма длин красных дуг равнялась сумме длин синих.

Прислать комментарий Решение

Задача 67363

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Нилов Ф.

Окружность $\omega$ касается прямых $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Произвольная касательная к $\omega$ пересекает $a$ и $b$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Точки $X'$ и $Y'$ симметричны точкам $X$ и $Y$ относительно $A$ и $B$ соответственно. Найдите геометрическое место проекций центра окружности на $X'Y'$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]