Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 67]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64746

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠B = 90°)  проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂ соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что  OB₁ = OB₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64780

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается катетов AC и BC в точках B₁ и A₁, а гипотенузы – в точке C₁. Прямые C₁A₁ и C₁B₁ пересекают CA и CB соответственно в точках B₀ и A₀. Докажите, что  AB₀ = BA₀.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64808

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В треугольнике ABC  ∠B = 60°,  O – центр описанной окружности, BL – биссектриса. Описанная окружность треугольника BOL пересекает описанную окружность треугольника ABC вторично в точке D. Докажите, что  BD ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64905

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Окружность с центром I касается сторон AB, BC, CA треугольника ABC в точках C₁, A₁, B₁. Прямые AI, CI, B₁I пересекают A₁C₁ в точках X, Y, Z соответственно. Докажите, что  ∠YB₁Z = ∠XB₁Z.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65003

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Средняя линия трапеции ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠C = 90°)  биссектрисы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA₁B₁. Докажите, что  OI ⊥ AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 67]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями