Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 67]
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11
|
Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
Две окружности w1 и w2
пересекаются в точках A и B. К ним через точку A
проводятся касательные l1 и l2 (соответственно).
Перпендикуляры, опущенные из точки B на l2 и l1,
вторично пересекают окружности w1 и w2
соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и
N лежат на одной прямой.
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10,11
|
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что B1C1
|| AD.
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10,11
|
Высоты $AH$, $CH$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекают внутреннюю биссектрису угла $B$ в точках $L_1$, $P_1$, а внешнюю в точках $L_2$, $P_2$. Докажите, что ортоцентры треугольников $HL_1P_1$, $HL_2P_2$ и вершина $B$ лежат на одной прямой.
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10,11
|
Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты треугольника $ABC$; $A_0$, $C_0$ – точки пересечения описанной окружности треугольника $A_1BC_1$ с прямыми $A_1B_1$ и $C_1B_1$ соответственно. Докажите, что прямые $AA_0$ и $CC_0$ пересекаются на медиане треугольника $ABC$ или параллельны ей.
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 67]