ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Швецов Д.В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 63]      



Задача 67114

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ соответственно. Пусть $A'$ – точка, симметричная $A_{1}$ относительно прямой $B_{1}C_{1}$; аналогично определяется точка $C'$. Прямые $A'C_{1}$ и $C'A_{1}$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что $BD\parallel AC$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67118

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Пусть $BH$ – высота прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle B=90^{\circ})$. Вневписанная окружность треугольника $ABH$, противолежащая вершине $B$, касается прямой $AB$ в точке $A_{1}$; аналогично определяется точка $C_{1}$. Докажите, что $AC\parallel A_{1}C_{1}$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66977

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Изогональное сопряжение ]
[ Теорема синусов ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

В треугольнике $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$, $CH$ – высота; $HA_{1}, HB_{1}$ – биссектрисы углов $\angle CHB, \angle AHC$ соответственно; $E, F$ – середины отрезков $HB_{1}$ и $HA_{1}$ соответственно. Докажите, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются на биссектрисе угла $ACB$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 64393

Темы:   [ Пятиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пятиугольник ABCDE, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E1; продолжения сторон BC и DE – в точке A1. Касательная, проведённая в точке B к описанной окружности треугольника BE1C, пересекает ω в точке B1; аналогично определяется точка D1. Докажите, что  B1D1 || AE.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64398

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ωa с центром Ia касается стороны BC в точке A1 и прямых l и AC. Окружность ωc с центром Ic касается стороны BA в точке C1 и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A1BC1 лежит на прямой IaIc.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 63]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .