Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67101

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть $E=AC\cap BD$, $F=AD\cap BC$. Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$. Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66656

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_1, BH_2, CH_3$, которые пересекаются в ортоцентре $H$. Точки $P$ и $Q$ симметричны $H_2$ и $H_3$ относительно $H$. Описанная окружность треугольника $PH_1Q$ пересекает во второй раз высоты $BH_2$ и $CH_3$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что $RS$ – средняя линия треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66240

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В треугольнике ABC проведены высоты AH₁, BH₂ и CH₃. Точка M – середина отрезка H₂H₃. Прямая AM пересекает отрезок H₂H₁ в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65805

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω₁ и ω₂ так, что прямая BA касается ω₁, прямая CA касается ω₂. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω₁, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω₂. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями