ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Кухарчук И.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]      



Задача 67102

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Изогональное сопряжение ]
[ Теорема Паскаля ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В треугольнике $ABC$ выбрана точка $P$. Лучи с началом в точке $P$, пересекающие под прямым углом стороны $BC$, $AC$, $AB$, пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Оказалось, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $Q$. Докажите, что все такие прямые $PQ$ пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67105

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Проекция на прямую (прочее) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$; $R$, $r$ – их радиусы; $D$ – точка касания вписанной окружности со стороной $BC$; $N$ – произвольная точка на отрезке $ID$. Перпендикуляр к $ID$ в точке $N$ пересекает описанную окружность $ABC$ в точках $X$ и $Y$. Пусть $O_1$ – центр описанной окружности $XIY$. Найдите произведение $OO_1\cdot IN$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67212

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ ГМТ (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

На окружности $\omega$ зафиксирована точка $A$. Хорды $BC$ окружности $\omega$ выбираются так, что проходят через фиксированную точку $P$. Докажите, что окружности 9 точек треугольников $ABC$ касаются фиксированной окружности, не зависящей от выбора $BC$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66803

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Проектирование (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность $\omega$, таков что $AD=BD=AC$. Точка $P$ движется по $\omega$. Прямые $AP$ и $DP$ пересекают прямые $CD$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $Q$. Найдите геометрическое место точек $Q$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .