Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает ещё 10 чисел, причём все 20 чисел должны быть положительными и различными. Мог ли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трёхчленов вида  x² + px + q,  среди коэффициентов p и q которых встречались бы все записанные числа, и (действительные) корни этих трёхчленов принимали ровно 11 различных значений?

   Решение

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность ω с центром в точке $O$. Описанная окружность Ω треугольника $AOC$ пересекает вторично прямые $AB, BC, CD$ и $DA$ в точках $M, N, K$ и $L$ соответственно. Докажите, что прямые $MN, KL$ и касательные, проведённые к ω в точках $A$ и $C$, касаются одной окружности.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]      

У каждого из жителей города N знакомые составляют не менее 30 населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города N из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.

Прислать комментарий

Решение

Игроки A и B по очереди ходят конем на шахматной доске 1994×1994. Игрок A может делать только горизонтальные ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку B разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок A ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом каждому игроку запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока A существует выигрышная стратегия.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]