Версия для печати
Убрать все задачи

---

Коридор покрыт несколькими ковровыми дорожками (возможно, с наложениями). Докажите, что можно убрать несколько дорожек таким образом, чтобы оставшиеся дорожки покрывали коридор и сумма их длин не превышала удвоенной длины коридора.

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66726

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Докажите, что
  а) любое число вида  3k – 2,  где k целое, есть сумма одного квадрата и двух кубов целых чисел;
  б) любое целое число есть сумма одного квадрата и трёх кубов целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66828

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ таковы, что точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на стороне $BC$, а точка $A_{1}$ – внутри треугольника ABC. Пусть $S$ и $S_{1}$ – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что  $\frac{S}{AB+AC} > \frac{S_1}{A_1B_1 + A_1C_1}$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66838

Темы:   [ Вписанные четырехугольники ] [ Описанные четырехугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Точка $M$ лежит внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ на одинаковом расстоянии от прямых $AB$ и $CD$ и на одинаковом расстоянии от прямых $BC$ и $AD$. Оказалось, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна  $MA\cdot MC + MB\cdot MD$.  Докажите, что четырёхугольник $ABCD$
  а) вписанный;
  б) описанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98148

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66732

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно $k$ больше 30°. Каково наибольшее возможное значение $k$?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями