На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      

Докажите, что
  а) любое число вида  3k – 2,  где k целое, есть сумма одного квадрата и двух кубов целых чисел;
  б) любое целое число есть сумма одного квадрата и трёх кубов целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

Два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ таковы, что точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на стороне $BC$, а точка $A_{1}$ – внутри треугольника ABC. Пусть $S$ и $S_{1}$ – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что  $\frac{S}{AB+AC} > \frac{S_1}{A_1B_1 + A_1C_1}$.

Прислать комментарий

Решение

Точка $M$ лежит внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ на одинаковом расстоянии от прямых $AB$ и $CD$ и на одинаковом расстоянии от прямых $BC$ и $AD$. Оказалось, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна  $MA\cdot MC + MB\cdot MD$.  Докажите, что четырёхугольник $ABCD$
  а) вписанный;
  б) описанный.

Прислать комментарий

Решение

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно $k$ больше 30°. Каково наибольшее возможное значение $k$?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]