Версия для печати
Убрать все задачи

---

Квадратная таблица в n² клеток заполнена числами от 1 до n так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если n нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., n. Доказать.

   Решение

---

Числа 1, 2, 3, ..., N записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число i, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел  i + 1  и  i – 1.  Сколькими способами это можно сделать?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109950  (#98.4.9.1)

Темы:   [ Формула Герона ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите все такие треугольники.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108109  (#98.4.9.2)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D, как показано на рисунке.

Докажите, что  ∠APB = ∠CQD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109952  (#98.4.9.3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Задачи с ограничениями ] [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Назовём десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109953  (#98.4.9.4)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Связность. Связные множества ] [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Имеется квадрат клетчатой бумаги размером 102×102 клетки и связная фигура неизвестной формы, состоящая из 101 клетки. Какое наибольшее число таких фигур можно с гарантией вырезать из этого квадрата? Фигура, составленная из клеток, называется связной, если любые две ее клетки можно соединить цепочкой ее клеток, в которой любые две соседние клетки имеют общую сторону.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109954  (#98.4.9.5)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.
Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями