Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Окружность касается одной из сторон угла в его вершине A и пересекает другую сторону в точке B. Угол равен 40°, M – точка на меньшей дуге AB.
Найдите угол AMB.

Вниз   Решение


Периметр треугольника равен 28, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.

ВверхВниз   Решение


Возможно ли, чтобы одна биссектриса треугольника делила пополам другую биссектрису?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      



Задача 60909  (#05.071)

Темы:   [ Системы счисления (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что каждое целое число A представимо в виде

A = a0 + 2a1 + 22a2 +...+ 2nan,

где каждое из чисел ak = 0, 1 или -1 и akak + 1 = 0 для всех 0 $ \leqslant$ k $ \leqslant$ n - 1, причем такое представление единственно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60910  (#05.072)

Темы:   [ Необычные конструкции ]
[ Троичная система счисления ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Множество Кантора. Отрезок числовой оси от 0 до 1 покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть — интервал (1/3;2/3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют множество Кантора.
а) Найдите сумму длин красных интервалов.
б) Докажите, что число 1/4 останется окрашенным в зеленый цвет.
в) Из суммы

$\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{3}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{9}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{27}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{81}}$ +...

произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докажите, что сумма оставшихся слагаемых — зеленое число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60911  (#05.073)

 [Последовательность Морса]
Темы:   [ Периодичность и непериодичность ]
[ Итерации ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Последовательность Морса. Бесконечная последовательность из нулей и единиц

0110 1001 1001 0110 1001...

построена по следующему правилу. Сначала написан нуль. Затем делается бесконечное количество шагов. На каждом шаге к уже написанному куску последовательности приписывается новый кусок той же длины, получаемый из него заменой всех нулей единицами, а единиц — нулями.
а) Какая цифра стоит на 2001 месте?
б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места, периодической?
в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на комбинацию 10.
г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не встречается в последовательности Морса три раза подряд.
д) Как, зная представление числа n в двоичной системе счисления, найти n-й элемент данной последовательности?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60912  (#05.074)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Ханойская башня и двоичная система счисления. Рассмотрим два процесса, каждый из которых состоит из 28 - 1 шагов. Первый — это процесс решения головоломки ``Ханойская башня'' (смотри задачу 1.42) при помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс прибавления единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 28 - 1. Опишите связь между этими двумя процессами.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60913  (#05.075)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Задача Иосифа Флавия. n человек выстраиваются по кругу и нумеруются числами от 1 до n. Затем из них исключается каждый второй до тех пор, пока не останется только один человек. Например, если n = 10, то порядок исключения таков: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается номер 5. Для данного n будем обозначать через J(n) номер последнего оставшегося человека. Докажите, что
а) J(2n) = 2J(n) - 1;
б) J(2n + 1) = 2J(n) + 1;
в) если n = (1bm - 1bm - 2...b1b0)2, то J(n) = (bm - 1bm - 2...b1b01)2.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .