Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 83]

Задача 61135 (#07.071)

Темы:	[	Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня	]
	[	Производная (прочее)	]
	[	Геометрия комплексной плоскости	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61136 (#07.072)

[Теорема Гаусса-Люка]

Темы:	[	Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня	]
	[	Производная (прочее)	]
	[	Геометрия комплексной плоскости	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть f(x) – многочлен степени n с корнями α₁, ..., α_n. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α₁, ..., α_n на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61137 (#07.073)

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

При каких n
а) многочлен x²ⁿ + xⁿ + 1 делится на x² + x + 1?
б) многочлен x²ⁿ – xⁿ + 1 делится на x² – x + 1?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61138 (#07.074)

Тема:

[

Арифметика остатков (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение (a + 1)²ⁿ⁺¹ + aⁿ⁺² делится на a² + a + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61139 (#07.075)

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]
	[	Производная и кратные корни	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

При каких n многочлен (x + 1)ⁿ + xⁿ + 1 делится на:
а) x² + x + 1; б) (x² + x + 1)²; в) (x² + x + 1)³?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 83]