Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Всероссийская олимпиада по математике
>>
1998-1999
>>
Заключительный этап
>>
9 Класс
Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
а) Пусть m0 и m1 – целые числа, 0 < m1 ≤ m0.
Докажите, что при некотором k > 1 существуют такие целые числа a0, a1, ..., ak и m2, ..., mk, что
m1 > m2 > m3 > ... > mk > 0, ak > 1,
m0 = m1a0 + m2,
m1 = m2a1 + m3,
m2 = m3a2 + m4,
...
mk–2 = mk–1ak–1 + mk,
mk–1 = mkak,
и (m0, m1) = mk.
б) Докажите, что для любого s от k – 1 до 0 существуют такие числа us, vs, что msus + ms+1vs = d, где d = (m0, m1).
В частности, для некоторых u и v выполняется равенство m0u + m1v = d.
На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по сторонам клеток.
Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки равна 1.)
Треугольник A1B1C1 получен из треугольника
ABC поворотом на угол
(
< 180o) вокруг центра его
описанной окружности. Докажите, что точки пересечения
сторон AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 (или
их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного
треугольнику ABC.
Задачи Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]
Задача 109704 (#99.5.9.6) |
|
|
Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство
|
|
Решение |
Задача 108155 (#99.5.9.7) |
|
Окружность S1, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке D. Окружность S2, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и окружность S1 вторично в точке F. Оказалось, что точки A, E, D, C лежат на окружности S3 с центром O. Докажите, что угол BFO – прямой.
|
|
|
Решение |
Задача 109706 (#99.5.9.8) |
|
|
В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя – либо один, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]
