Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A₂, B₂ и C₂ симметричны точкам A₁, B₁ и C₁ относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A₂, B₂ и C₂ лежат на одной сфере.

Прислать комментарий

Решение

Исходно на доске написаны многочлены  x³ – 3x² + 5  и  x² – 4x.  Если на доске уже написаны многочлены  f(x) и g(x), разрешается дописать на неё многочлены  f(x) ± g(x),  f(x)g(x),  f(g(x))  и  cf(x),  где c – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида  xⁿ – 1  (при натуральном n)?

Прислать комментарий

Решение

Двое игроков играют в карточную игру. У них есть колода из n попарно различных карт. Про любые две карты из колоды известно, какая из них бьёт другую (при этом, если A бьёт B, а B бьёт C, то может оказаться, что C бьёт A). Колода распределена между игроками произвольным образом. На каждом ходу игроки открывают по верхней карте из своих колод, и тот, чья карта бьёт карту другого игрока, берёт обе карты и кладёт их в самый низ своей колоды в произвольном порядке по своему усмотрению. Докажите, что при любой исходной раздаче игроки могут, зная расположение карт, договориться и действовать так, чтобы один из игроков остался без карт.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]