ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 64777  (#11.1)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных x верно неравенство   |cos x| + |cos αx| > sin x + sin αx?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64778  (#11.2)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Теория игр (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Петя и Вася играют в игру на клетчатой доске n×n (где  n > 1).  Изначально вся доска белая, за исключением угловой клетки – она чёрная, и в ней стоит ладья. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок передвигает ладью по горизонтали или вертикали, при этом все клетки, через которые ладья перемещается (включая ту, в которую она попадает), перекрашиваются в чёрный цвет. Ладья не должна передвигаться через чёрные клетки или останавливаться на них. Проигрывает тот, кто не может сделать ход; первым ходит Петя. Кто выиграет при правильной игре?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64779  (#11.3)

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Положительные рациональные числа a и b записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа  a – b  длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном k длина минимального периода десятичной записи числа  a + kb  может также оказаться равной 15?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64772  (#11.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Точка Микеля ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Треугольник ABC  (AB > BC)  вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что  AM = CN.  Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64781  (#11.5)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Натуральное число n назовём хорошим, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа  n + 1.
Найдите все хорошие натуральные числа.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .