Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]

Задача 61277 (#09.026)

Темы:	[	Кубические многочлены	]
	[	Геометрия комплексной плоскости	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что если корни многочлена f(x) = x³ + ax² + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61278 (#09.027)

Тема:

[

Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов

]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что если уравнения x³ + px + q = 0, x³ + p'x + q' = 0 имеют общий корень, то (pq' – qp')(p – p')² = (q – q')³.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61279 (#09.028)

Темы:	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что при 4p³ + 27q² < 0 уравнение x³ + px + q = 0 заменой x = αy + β сводится к уравнению ay³ – 3by² – 3ay + b = 0 (*)
от переменной y.

б) Докажите, что решениями уравнения (*) будут числа y₁ = tg , y₂ = tg , y₃ = tg , где φ определяется из условий:
sin φ = , cos φ = .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61280 (#09.029)

Тема:

[

Уравнения высших степеней (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.
а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду x⁴ = Ax² + Bx + C. (*)
б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде x⁴ + 2αx² + α² = (A + 2α)x² + Bx + (C + α²). (**)
Докажите, что для некоторого α > – ^A/₂ правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
в) Пользуясь равенством (**), опишите метод нахождения корней уравнения (*).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]