Версия для печати
Убрать все задачи

---

a₁, a₂, ..., a_n — произвольные натуральные числа. Обозначим через b_k количество чисел из набора a₁, a₂, ..., a_n, удовлетворяющих условию:  a_i ≥ k.
Доказать, что   a₁ + a₂ + ... + a_n = b₁ + b₂ + ...

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 86120

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Доска размером 2005×2005 разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, ... так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. (Расстояние между клетками – это расстояние между их центрами.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108094

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Окружность Ω₁ проходит через центр окружности Ω₂. Из точки C, лежащей на Ω₁, проведены касательные к Ω₂, вторично пересекающие Ω₁ в точках A и B. Докажите, что отрезок AB перпендикулярен линии центров окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86109

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86110

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4 Классы: 9

На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки  n – 1  цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86113

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Метод координат на плоскости ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями