Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]

Задача 109805 (#04.5.10.6)

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Карпов Д.В., Смирнов А.

В стране 1001 город, каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог, в каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из каждого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109806 (#04.5.10.7)

Темы:	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Покрытия	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Дольников В.Л.

Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .

Прислать комментарий Решение

Задача 109807 (#04.5.10.8)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Чернышов Е., Богданов И.И.

Существует ли такое натуральное число n > 10¹⁰⁰⁰, не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно переставить две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]