Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 109808 (#04.5.10.1)

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Берлов С.Л.

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

Прислать комментарий Решение

Задача 109802 (#04.5.10.2)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
Темы:	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?

Прислать комментарий Решение

Задача 109803 (#04.5.10.3)

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Емельянов Л.А., Смирнов А.

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109811 (#04.5.10.4)

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Даны натуральное число n > 3 и положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 109804 (#04.5.10.5)

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Протопопов А.

Последовательность неотрицательных рациональных чисел a₁, a₂, a₃, ... удовлетворяет соотношению a_m + a_n = a_mn при любых натуральных m, n.
Докажите, что не все её члены различны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]