Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.
Решение
Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, и прямые AB1, BC1 и CA1 пересекаются в одной точке O1. Докажите, что прямые AC1, BA1 и CB1 тоже пересекаются в одной точке O2 (теорема о дважды перспективных треугольниках).
Решение
Убрать все задачи
Жители города Глупова пользуются купюрами только в 35 и 80 тыров. Сможет ли рассчитаться продавец с покупателем, который хочет купить
a) шоколадку за 57 тыров;
б) булочку за 15 тыров?
Решениеа) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.
РешениеДаны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, и прямые AB1, BC1 и CA1 пересекаются в одной точке O1. Докажите, что прямые AC1, BA1 и CB1 тоже пересекаются в одной точке O2 (теорема о дважды перспективных треугольниках).
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A1A2... A2008, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.
Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
Задача 111865 (#08.5.11.5) |
|
|
Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?
|
|
Решение |
Задача 111866 (#08.5.11.6) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 111867 (#08.5.11.7) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 111868 (#08.5.11.8) |
|
|
В блицтурнире принимали участие 2n + 3 шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
