Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109958  (#98.4.8.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Существуют ли такие n-значные числа M и N, что все цифры M – чётные, все цифры N – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи M или N хотя бы один раз и M делится на N?

Решение

Пусть  M = a₁...a_n  и  N = b₁...b_n  – числа, удовлетворяющие условию. Тогда  M = dN,  где d = 2, 4, 6 или 8 (так как M чётно, а N нечётно). Пусть  b_k = 9  и
S = b_k...b_n.  Тогда из неравенств  180...0 < 2S < 199...9,  360...0 < 4S < 399...9,  540...0 < 6S < 39...9,  720...0 < 8S < 799...9  следует, что в (k–1)-й разряд переносится нечётная цифра p, значит, цифра a_k–1 – последняя цифра суммы  db_k–1 + p  нечётна. Противоречие.

Ответ

Не существуют.

Прислать комментарий

---

Задача 108107  (#98.4.8.2)

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В параллелограмме ABCD точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Могут ли лучи AM и AN делить угол BAD на три равные части?

Подсказка

Докажите, что лучи AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

Решение

  Предположим, что это возможно. Пусть  ∠BAM = ∠MAN = ∠DAN,  лучи AM и AN пересекают диагональ BD в точках K и L соответственно, а O – центр параллелограмма. Поскольку K – точка пересечения медиан треугольника ABC, то  BK = ⅔ BO = ⅓ BD.
  Аналогично  DL = ⅓ BD.  Значит,  BK = KL = DL.  В треугольнике ABL медиана AK является биссектрисой, поэтому треугольник ABL – равнобедренный, а AK – его высота. Аналогично AL – высота треугольника AKD. Таким образом,  AK ⊥ BD  и  AL ⊥ BD,  то есть из точки A на прямую BD опущено два различных перпендикуляра, что невозможно.

Ответ

Не могут.

Прислать комментарий

---

Задача 109960  (#98.4.8.3)

Темы:   [ Полуинварианты ] [ Процессы и операции ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8

В колоде 52 карты, по 13 каждой масти. Ваня вынимает из колоды по одной карте. Вынутые карты в колоду не возвращаются. Каждый раз перед тем, как вынуть карту, Ваня загадывает какую-нибудь масть. Докажите, что если Ваня каждый раз будет загадывать масть, карт которой в колоде осталось не меньше, чем карт любой другой масти, то загаданная масть совпадет с мастью вынутой карты не менее 13 раз.

Решение

Назовем характеристикой колоды количество имеющихся в ней карт той масти, которой в колоде осталось больше всего. При каждом ходе характеристика либо не меняется, либо уменьшается на 1. В последнем случае, очевидно, берется карта загаданной масти. Осталось заметить, что в начале игры характеристика колоды равнялась 13, а в конце – 0, так что по ходу игры она уменьшалась 13 раз.

Прислать комментарий

---

Задача 109961  (#98.4.8.4)

Темы:   [ Системы точек ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Взаимное расположение двух окружностей ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.

Решение

Так как любые 9 точек лежат на двух окружностях, то найдется окружность O , на которой лежит не менее 5 точек. Рассмотрим все точки множества, не лежащие на O . Если таких точек четыре или меньше, то утверждение задачи верно. Действительно, дополнив их точками окружности O до девяти, получим, что они лежат на двух окружностях, на одной из которых лежат три дополняющих точки, поэтому это O . Значит, все наши точки лежат на другой окружности.

Пусть вне окружности O лежит не менее пяти точек.
Возьмем пять точек A₁ , A₅ на O и три точки B₁ , B₂ , B₃ вне O . Через точки B₁ , B₂ , B₃ проходит единственная окружность O₁ . Возьмем точку B , отличную от точек A₁ , A₅ , B₁ , B₂ , B₃ . По условию существуют две окружности O' и O'₁ , содержащие все точки A₁ , A₂ , A₅ , B₁ , B₂ , B₃ , B .
Тогда опять одна из окружностей O' и O'₁ совпадает с O .
Поскольку точки B₁ , B₂ , B₃ не лежат на окружности O , все они оказываются на той из окружностей O' или O'₁ , которая не совпадает с O , и эта вторая окружность тем самым совпадает с O₁ . Получается, что точка B лежит либо на O , либо на O₁ , что завершает доказательство.

Прислать комментарий

---

Задача 109962  (#98.4.8.5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Перебор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры (см. рис.) так, чтобы сумма четырёх чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.

Ответ

Прислать комментарий

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями