Версия для печати
Убрать все задачи

---

Может ли быть верным равенство

если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры.

   Решение

---

Докажите, что прямые AB и KM перпендикулярны тогда и только тогда, когда  AK² – BK² = AM² – BM².

   Решение

---

Бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3 и 5 г. Среди четырех бронзовых монет (по одной из каждого номинала) одна фальшивая — отличается от настоящих по весу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

   Решение

---

Последовательность (a_n) такова, что  a_n = n²  при  1 ≤ n ≤ 5  и при всех натуральных n выполнено равенство  a_n+5 + a_n+1 = a_n+4 + a_n.  Найдите a₂₀₁₅.

   Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60589  (#03.137)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Числа Фибоначчи ] [ Метод спуска ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Решите в целых числах уравнения:   а)  x² – xy – y² = 1;   б)  x² – xy – y² = –1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60590  (#03.138)

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ Десятичная система счисления ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при  m ≥ 2  встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F_5n+2  (n ≥ 0)  содержит в своей десятичной записи не менее  n + 1  цифры.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60591  (#03.139)

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим алгоритм Евклида из задачи 60488, состоящий из k шагов.
Докажите, что начальные числа m₀ и m₁ должны удовлетворять неравенствам  m₁ ≥ F_k+1,  m₀ ≥ F_k+2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60592  (#03.140)  [Теорема Ламе]

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть число m₁ в десятичной системе счисления записывается при помощи n цифр.
Докажите, что при любом m₀ число шагов k в алгоритме Евклида для чисел m₀ и m₁ удовлетворяет неравенству  k ≤ 5n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60593  (#03.141)  [Фибоначчиевы коэффициенты]

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит из фибоначчиевых коэффициентов     определяемых равенством

  а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии  

  б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент     через     и     (аналогичную равенству б) из задачи 60413).

  в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями