Страница:
<< 9 10 11 12
13 14 15 >> [Всего задач: 810]
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
|
Известно, что x + 1/x – целое число. Докажите, что xn + 1/xn – также целое при любом целом n.
Решение
Очевидно, достаточно доказать утверждение для неотрицательных n. Сделаем это по индукции.
База. Для n = 0 утверждение очевидно, а для n = 1 дано в условии.
Шаг индукции. Пусть утверждение уже доказано для всех чисел от 0 до n. Тогда число 
– целое как разность двух целых чисел.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
|
Гайка имеет форму правильной шестиугольной призмы. Каждая боковая грань гайки покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий, причём соседние грани выкрашены в разные цвета. Сколько существует различных по раскраске гаек? (Для раскраски гайки не обязательно использовать все три краски.)
Решение
Грани одного цвета не могут быть рядом, поэтому их не более трёх. Разберем три случая.
1) Использованы только два цвета – каждый по три раза. Тогда цвета должны чередоваться, и единственная схема раскраск – 121212. Подставляя вместо 1 и 2 любую пару цветов, мы получим 3 типа гаек. Замена цветов в паре ничего не меняет.
2) Один цвет использован три раза, второй – два, третий – один. Очевидно, схема раскраски (с точностью до поворота) тоже одна – 121213. В качестве цвета 1 можно взять любой из трёх данных цветов, в качестве цвета 2 – любой из двух оставшихся. Итого – 6 типов гаек.
3) Каждый цвет использован по два раза. Здесь есть два подслучая.
а) Каждая грань окрашена так же, как противоположная: схема раскраски – 123123. Такой тип гайки только один (напомним, что гайку можно переворачивать).
б) Какие-то противоположные грани окрашены в разные цвета (1 и 2). Тогда вторая грань цвета 1 находится рядом с первой гранью цвета 2, и наоборот, а грани цвета 3 – напротив друг друга (схема 123213). Здесь важно, какой цвет мы выберем в качестве цвета 3, поэтому получается 3 типа гаек.
И всего 3 + 6 + 1 + 3 = 13 типов.
.
Решить в целых числах уравнение xy = x + y.
Подсказка
Выразите x через y. Есть другая возможность: перенести все слагаемые в одну часть.
Решение
Выразим одно переменное через другое x = y/y–1 = 1 + 1/y–1. Последняя дробь будет целым числом только при y = 0 и y = 2.
Ответ
(0, 0), (2, 2).
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
|
Доказать, что произведение n первых простых чисел не является полным квадратом.
Подсказка
Среди первых простых чисел только одно чётное число 2.
Решение
Произведение n первых простых чисел делится на 2 и не делится на 4, следовательно, не может быть полным квадратом.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
|
Доказать, что дробь $\frac{12n+1}{30n+1}$ несократима.
Решение
5(12n + 1) – 2(30n + 1) = 3, поэтому НОД(12n + 1, 30n + 1) равен 3 или 1. Но 12n + 1 на 3 не делится.
Страница:
<< 9 10 11 12
13 14 15 >> [Всего задач: 810]
Фильтр
