ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 11. Последовательности и ряды
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Множество Кантора. Отрезок числовой оси от 0 до 1 покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть — интервал (1/3;2/3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют множество Кантора.
а) Найдите сумму длин красных интервалов.
б) Докажите, что число 1/4 останется окрашенным в зеленый цвет.
в) Из суммы

$\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{3}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{9}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{27}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{81}}$ +...

произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докажите, что сумма оставшихся слагаемых — зеленое число.

   Решение

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

Задача 61493  (#11.066)

Темы:   [ Производящие функции ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть an – число решений уравнения  x1 + ... + xk = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k.
  б) Найдите формулу для an, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61493  (#11.067)

Темы:   [ Производящие функции ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть an – число решений уравнения  x1 + ... + xk = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k.
  б) Найдите формулу для an, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61495  (#11.068)

Темы:   [ Формальные степенные ряды ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Докажите тождество:

(1 + x + x2 +...+ x9)(1 + x10 + x20 +...+ x90)×
×(1 + x100 + x200 +...+ x900)...= $\displaystyle {\dfrac{1}{1-x}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61496  (#11.069)

 [Бином Ньютона для отрицательных показателей]
Тема:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства

  а)  

  б)  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61497  (#11.070)

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а)     б)  

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .