Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 110]

Задача 57085 (#06.072)

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9

Расстояние от точки X до центра правильного n-угольника равно d, r – радиус вписанной окружности n-угольника.
Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки X до прямых, содержащих стороны n-угольника, равна n(r² + ½ d²).

Прислать комментарий

Решение

Задача 57086 (#06.073)

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]

Сложность: 4
Классы: 9

Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон правильного n-угольника на любую прямую равна ½ na², где a – сторона n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57087 (#06.074)

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9

Правильный n-угольник A₁...A_n вписан в окружность радиуса R; X – точка этой окружности. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Задача 57088 (#06.075)

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9

а) Правильный n-угольник A₁...A_n вписан в окружность радиуса 1 с центром O; e_i = , u – произвольный вектор.
Докажите, что (u, e_i)e_i = ½ nu.

б) Из произвольной точки X опущены перпендикуляры XC₁,..., XC_n на стороны правильного n-угольника (или на их продолжения).
Докажите, что где O – центр n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57089 (#06.076)

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что если число n не является степенью простого числа, то существует выпуклый n-угольник со сторонами длиной 1, 2,..., n, все углы которого равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 110]