Версия для печати
Убрать все задачи

---

В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали  n² + 9n – 2  гриба, причём все они собрали поровну грибов.
Кого было больше: мальчиков или девочек?

   Решение

---

Доказать, что в трапеции сумма углов при меньшем основании больше, чем при большем.

   Решение

---

Есть доска 1×1000, вначале пустая, и куча из n фишек. Двое ходят по очереди. Первый своим ходом "выставляет" на доску не более 17 фишек по одной на любое свободное поле (он может взять все 17 из кучи, а может часть – из кучи, а часть – переставить на доске). Второй снимает с доски любую серию фишек (серия – это несколько фишек, стоящих подряд, то есть без свободных полей между ними) и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все фишки в ряд без пробелов.
  а) Докажите, что при  n = 98  первый всегда может выиграть.
  б) При каком наибольшем n первый всегда может выиграть?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30810  (#032)

Темы:   [ Степень вершины ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

На конференции присутствуют 50 учёных, каждый из которых знаком по крайней мере с 25 участниками конференции.
Докажите, что найдутся четверо из них, которых можно усадить за круглый стол так, чтобы каждый сидел рядом со знакомыми ему людьми.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30811  (#033)

Темы:   [ Степень вершины ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Каждый из 102 учеников одной школы знаком не менее чем с 68 другими.
Докажите, что среди них найдутся четверо, имеющие одинаковое число знакомых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30812  (#034)

Темы:   [ Деревья ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8

Расстоянием между двумя произвольными вершинами дерева будем называть длину простого пути, соединяющего их. Удалённостью вершины дерева назовём сумму расстояний от неё до всех остальных вершин. Докажите, что в дереве, у которого есть две вершины с удалённостями, отличающимися на 1, нечётное число вершин.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30813  (#035)

Тема:   [ Деревья ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Дима нарисовал на доске семь графов, каждый из которых является деревом с шестью вершинами. Докажите, что среди них есть два изоморфных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30814  (#036)

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В некоторой стране каждые два города соединены либо авиалинией, либо железной дорогой. Докажите, что
  а) можно выбрать вид транспорта так, чтобы от каждого города можно было добраться до любого другого, пользуясь только этим видом транспорта;
  б) из некоторого города, выбрав один из видов транспорта, можно добраться до любого другого города не более чем с одной пересадкой (пользоваться можно только выбранным видом транспорта);
  в) каждый город обладает свойством из пункта б);
  г) можно выбрать вид транспорта так, чтобы пользуясь только им, можно было добраться из каждого города до любого другого не более чем с двумя пересадками.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями