Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из шахматной доски (размером 8×8) вырезали центральный квадрат размером 2×2.
Можно ли оставшуюся часть доски разрезать на равные фигурки в виде буквы "Г", состоящие из четырёх клеток?

   Решение

---

На прямых $BC$, $CA$, $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$, $C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2\| AB$, $B_1C_2\| BC$, $C_1A_2\| CA$. Пусть $\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$, $BB_2$ и $CC_1$; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $\ell_a$, $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).

   Решение

---

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
  а) (2n+1)-угольника;  б) 2n-угольника?

   Решение

---

Перед началом Олимпиады хоккейные шайбы подорожали на 10%, а после окончания Олимпиады подешевели на 10%.
Когда шайбы стоили дороже – до подорожания или после удешевления?

   Решение

---

В задаче 60274 доказана возможность деления с остатком произвольного целого числа a на натуральное число b.
Докажите, что из равенства  a = bq + r  следует соотношение  (a, b) = (b, r).

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61005  (#06.082)

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

а) x4 + 4;	ж) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3;
б) 2x3 + x2 + x – 1;	з) (x – y)5 + (y - z)5 + (z – x)5;
в) x10 + x5 + 1;	и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8;
г) a3 + b3 + c3 – 3abc;	к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2;
д) x3 + 3xy + y3 – 1;	л) a4 + b4 + c4 - 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2;
е) x2y2 – x2 + 4xy – y2 + 1;	м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61006  (#06.083)

Тема:   [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен  x⁴ + x³ + x² + x + 12?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61007  (#06.084)

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что многочлен  x⁴ + px² + q  всегда можно разложить в произведение двух многочленов второй степени.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61008  (#06.085)

Тема:   [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Упростите выражение:  .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61009  (#06.086)

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что при нечетном m выражение  (x + y + z)^m – x^m – y^m – z^m  делится на  (x + y + z)³ – x³ – y³ – z³.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями