Версия для печати
Убрать все задачи

---

Верно ли, что любые 100 карточек, на которых написано по одной цифре 1, 2 или 3, встречающейся не более чем по 50 раз каждая, можно разложить в один ряд так, чтобы в нём не было фрагментов 11, 22, 33, 123 и 321?

   Решение

---

Трое играют в настольный теннис, причем игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что первый игрок сыграл 10 партий, второй – 21. Сколько партий сыграл третий игрок?

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66209  (#6)

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дан четырёхугольник ABCD, в котором  AC = BD = AD;  точки E и F – середины AB и CD соответственно; O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что EF проходит через точки касания вписанной окружности треугольника AOD с его сторонами AO и OD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66322  (#8.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Покрытия ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Остроугольный треугольник разбили медианой на два меньших треугольника.
Докажите, что каждый из них можно накрыть полукругом, равным половинке описанного круга исходного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66311  (#9.6)

Темы:   [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В прямоугольном треугольнике ABC точка D – середина высоты, опущенной на гипотенузу AB. Прямые, симметричные AB относительно AD и BD, пересекаются в точке F. Найдите отношение площадей треугольников ABF и ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66319  (#10.6)

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Касательные к сферам ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Сфера, вписанная в пирамиду SABC, касается граней SAB, SBC, SCA в точках D, E, F соответственно.
Найдите все возможные значения суммы углов SDA, SEB и SFC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66210  (#7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Формула Эйлера ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В треугольнике центр описанной окружности лежит на вписанной окружности.
Докажите, что отношение наибольшей стороны треугольника к наименьшей меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями