Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78278 (#1)

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
	[	Основные свойства центра масс	]
	[	Аналитический метод в геометрии	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На сторонах AB, BC, CA правильного треугольника ABC найти такие точки X, Y, Z (соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми CX, BZ, AY, была вчетверо меньше площади треугольника ABC и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$

Прислать комментарий Решение

Задача 78274 (#2)

Тема:

[

Правильный (равносторонний) треугольник

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.

Прислать комментарий Решение

Задача 78279 (#3)

Тема:

[

Арифметические действия. Числовые тождества

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Доказать, что для любого целого d найдутся такие целые m, n, что

d = $\displaystyle {\frac{n-2m+1}{m^2-n}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 78276 (#4)

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Признаки делимости на 3 и 9	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если S(a) = S(2a), то число a делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78277 (#5)

Тема:

[

Теория алгоритмов (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Даны n карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел 1, 2,..., n, причём так, что каждое число встречается на всех n карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа: 1, 2,..., n.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]