Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
На плоскости даны точки A1 , A2 , An и точки B1 ,
B2 , Bn . Докажите, что точки Bi можно
перенумеровать так, что для всех i j
угол между векторами
и
– острый или прямой.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA,
BHB и CHC.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AHBHC, BHAHC и CHAHB равен треугольнику HAHBHC.
Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не
превосходит удвоенного числа в его середине.
Назовем билет с номером от 000000 до 999999 отличным, если разность некоторых двух соседних цифр его номера равна 5.
Найдите число отличных билетов.
Незнайка разрезал фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки, нарисованные справа от неё. Сколько трёхклеточных уголков могло получиться?
Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого P(x) + P(1 – x) ≡ 1.
Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?
На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана
точка K, для которой KD = DC, ∠BAC = ½ KDC, ∠DAC = ½ ∠KBC.
Докажите, что ∠KDA = ∠BCA или ∠KDA = ∠KBA.
В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила n+1/4.
Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?
Докажите, что из всех треугольников данной площади равносторонний имеет наименьший периметр.
На плоскости даны точки A и B. Найдите ГМТ M, для
которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.
Известно, что уравнение ax5 + bx4 + c = 0 имеет три различных корня. Докажите, что уравнение cx5 + bx + a = 0 также имеет три различных корня.
На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли
одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002.
Какие числа остались на доске?
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 103869 (#1) |
|
|
Решите ребус: БАО×БА×Б = 2002.
|
|
Решение |
Задача 103870 (#2) |
|
|
Незнайка разрезал фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки, нарисованные справа от неё. Сколько трёхклеточных уголков могло получиться?
|
|
Решение |
Задача 103871 (#3) |
|
|
На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли
одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002.
Какие числа остались на доске?
|
|
|
Решение |
Задача 103872 (#4) |
|
|
Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7×7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку.
Побейте его рекорд — закрасьте а) 32 клетки; б) 33 клетки.
|
|
|
Решение |
Задача 103873 (#5) |
|
|
Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит ''да'', ''нет'' или ''не знаю'', и по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
